Задание 16. Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Известно, что АС = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан АА1 и CC1 если известно, что АС = 30.
Решение.
а) Так как 
медиана, то 
. Также из того факта,
что M – точка пересечения
медиан, то 
.
Обозначим 
,
соответственно, 
,
и 
. По условию
задачи AC=3MB, то есть 
и 
. Таким образом, получаем, что
треугольник 
равнобедренный
с основанием AB. Так как углы в
равнобедренном треугольнике при основании равны, то 
. Треугольник 
также равнобедренный с
основанием BC и,
следовательно, 
(см.
рисунок). Учитывая, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, для
треугольника ABC можно записать:
Из
последнего выражения следует, что угол 
- прямой, и треугольник ABC – прямоугольный.
б) Рассмотрим
прямоугольный треугольник 
, в котором гипотенузу 
можно выразить по теореме Пифагора
как 
.
Аналогично, из прямоугольного треугольника 
гипотенуза 
. Получаем следующую систему:
Сложим оба уравнения, получим:
Так
как 
- это
средняя линия треугольника ABC, то 
:
.
Ответ: 1125.
Другие задания: