Задание 16. Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Известно, что АС = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан АА1 и CC1 если известно, что АС = 30.
Решение.
а) Так как медиана, то . Также из того факта, что M – точка пересечения медиан, то . Обозначим , соответственно, , и . По условию задачи AC=3MB, то есть и . Таким образом, получаем, что треугольник равнобедренный с основанием AB. Так как углы в равнобедренном треугольнике при основании равны, то . Треугольник также равнобедренный с основанием BC и, следовательно, (см. рисунок). Учитывая, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, для треугольника ABC можно записать:
Из последнего выражения следует, что угол - прямой, и треугольник ABC – прямоугольный.
б) Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором гипотенузу можно выразить по теореме Пифагора как . Аналогично, из прямоугольного треугольника гипотенуза . Получаем следующую систему:
Сложим оба уравнения, получим:
Так как - это средняя линия треугольника ABC, то :
.
Ответ: 1125.
Другие задания: