Задание 16. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности.
Решение.
а) В равнобедренном треугольнике ABC стороны AB=AC=38, а основание BC=26. Вписанная окружность с центром в точке O пересекает среднюю линию MN в точке P и Q и высоту AH в точке K. Сторон треугольника окружность касается в точках D, E и H, то есть, отрезки OD=OE=OH=r.
Так
как MN – средняя
линия, то 
, 
. Рассмотрим
прямоугольный треугольник AHB (так как AH – высота). В
соответствии с теоремой Пифагора, имеем:
Сторона
(так как MN – средняя
линия). Выразим радиус r окружности через
площадь треугольника ABC:
,
где p – полупериметр треугольника, откуда
.
Также, площадь треугольника ABC равна
Таким образом,
,
а
. Заметим, что
длина отрезка 
и
это значит, что
,
то есть окружность пересекает среднюю линию MN.
б) Требуется найти
длину отрезка PQ (см. рисунок).
Точки M и N средней линии MN лежат в центрах
отрезков AB и AC соответственно.
То есть, 
. По
теореме о касательных к окружности AD=AE, BD=BH, CE=CH и периметр
треугольника ABC:
Отсюда
(MD – касательная к окружности, MN – секущая). По теореме о касательной и секущей, имеем:
Подставим в (*) значения MP и MQ, получим:
Ответ: 5.
Другие задания: