Задание 16. В треугольнике ABC известно, что угол BAC = 60°, угол ABC = 45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р.
а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 6.
Решение.
а) Высоты AM, BN, CP пересекаются в
одной точке (одна из замечательных точек треугольника). Вписанные углы,
опирающиеся на одну дугу, равны, то есть, 
и 
, следовательно,
(*)
По
условию 
, а
треугольники CP1B и AM1B – прямоугольные
с гипотенузой PM.
б) Аналогично с (*) находим
и
По теореме синусов из треугольника ABC, имеем:
,
где R – радиус описанной окружности. Получаем:
и
, так как PM – диаметр
окружности.
Рассмотрим
прямоугольный треугольник MNP с катетом MN, лежащий против
угла в 30°,
то есть, 
.
Найдем катет NP по теореме
Пифагора:
Площадь треугольника MNP, равна:
.
Ответ: 6√3.
Другие задания: