Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко. Профильный уровень (36 вариантов)

Вариант 17. Задание 16. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 16. В треугольнике ABC известно, что угол BAC = 60°, угол ABC = 45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 6.

Решение.

а) Высоты AM, BN, CP пересекаются в одной точке (одна из замечательных точек треугольника). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, то есть,  и , следовательно,

  (*)

По условию , а треугольники CP1B и AM1B – прямоугольные с гипотенузой PM.

б) Аналогично с (*) находим

и

По теореме синусов из треугольника ABC, имеем:

,

где R – радиус описанной окружности. Получаем:

и , так как PM – диаметр окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MNP с катетом MN, лежащий против угла в 30°, то есть, . Найдем катет NP по теореме Пифагора:

Площадь треугольника MNP, равна:

.

Ответ: 6√3.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта:

Видео по теме