Задание 8. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 9. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.
Решение.
1-й способ. Так как пирамида правильная, то в ее основании лежит квадрат со сторонами 9. Сечение проходит точно по центру боковых граней, следовательно, оно представляет собой квадрат со сторонами в 2 раза меньшими, чем основание, т.е. по 4,5. Площадь квадрата со сторонами 4,5, равна
S = 4,5∙4,5 = 20,25.
2-й способ. Если все ребра пирамиды равны, то гранями пирамиды являются равносторонние треугольники, у которых углы равны 60 градусов, а высота делит основание пополам и является биссектрисой угла.
Рассмотрим
грань пирамиды (равносторонний треугольник), чтобы определить длину ребра
сечения 
.
Рассмотрим
прямоугольный треугольник 
с 
и углом 
, т.к. высота является и биссектрисой.
Синус угла равен отношению противолежащего катета на гипотенузу, т.е.
отсюда получаем
,
а все ребро
.
Плоскость сечения представляет собой квадрат, и соответственно, его площадь равна
.
Ответ: 20,25.
Другие задания: