Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко. Профильный уровень (36 вариантов)

Вариант 26. Задание 16. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 16. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.

б) Известно, что радиус этой окружности в 6 раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Решение.

а) Пусть вписанная окружность с центром О касается боковой стороны АВ и основания ВС равнобедренного треугольника ABC в точках М и H, а окружность с центром О1 касается боковой стороны АВ, продолжения основания ВС в точке D и продолжения боковой стороны АС в точке Е. Тогда АН — высота треугольника ABC.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому АO1 — биссектриса угла ВАЕ. В четырёхугольнике AHDO1 угол НАО1 — прямой как угол между биссектрисами смежных углов ВАС и ВАЕ, а так как , то АНDO1 — прямоугольник, поэтому O1D = АН.

б) Пусть радиус окружности с центром О равен r. Тогда радиус окружности с центром O1 равен 6r.

Из прямоугольного треугольника АОМ находим, что

Прямоугольные треугольники АОМ и АВН подобны по двум углам, поэтому

,

откуда

.

По теореме об отрезках касательных, проведённых к окружности из одной точки, . Следовательно,

Ответ: 1:4.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта:

Видео по теме