Задание 14. Все рёбра правильной треугольной призмы имеют длину
6. Точки M и N - середины рёбер
и
соответственно.
а) Докажите, что прямые и
перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями и
.
Решение.
а) У правильной треугольной пирамиды в
основании лежит равносторонний треугольник. Тогда, если ввести точку как середину отрезка
, то высота
будет образовывать прямой угол с основанием
(см. рисунок).
Пользуясь теоремой Пифагора можем записать, что
Зная ,
аналогично вычислим
, получим
.
Учитывая, что
по теореме Пифагора получается, что треугольник прямоугольный с
прямым углом в точке M.
б) Выполним построение: проведем
перпендикуляр из точки к прямой
(см.
рисунок). Тогда получаем, что
и
. Следовательно,
. Отсюда
следует, что отрезок
- это проекция отрезка
на плоскость
. Так как
прямая
перпендикулярна прямой
, то по теореме о трех перпендикулярах
получаем, что
. Таким образом, угол
- линейный угол искомого угла между
плоскостями
и
.
Для вычисления длины можно заметить, что она равна половине
высоты треугольника
:
.
В итоге получаем, что
.
Следовательно,
.
Ответ: .
Для наших пользователей досутпны следующие материалы: