Задание 14. Все рёбра правильной треугольной призмы 
имеют длину
6. Точки M и N - середины рёбер 
и 
соответственно.
а) Докажите, что прямые 
и 
перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями 
и 
.
Решение.
а) У правильной треугольной пирамиды в
основании лежит равносторонний треугольник. Тогда, если ввести точку 
как середину отрезка 
, то высота 
будет образовывать прямой угол с основанием
(см. рисунок).
Пользуясь теоремой Пифагора можем записать, что
Зная ,
аналогично вычислим 
, получим
.
Учитывая, что
по теореме Пифагора получается, что треугольник прямоугольный с
прямым углом в точке M.
б) Выполним построение: проведем
перпендикуляр из точки 
к прямой 
(см.
рисунок). Тогда получаем, что 
и 
. Следовательно, 
. Отсюда
следует, что отрезок 
- это проекция отрезка на плоскость . Так как
прямая перпендикулярна прямой , то по теореме о трех перпендикулярах
получаем, что 
. Таким образом, угол 
- линейный угол искомого угла между
плоскостями и .
Для вычисления длины 
можно заметить, что она равна половине
высоты треугольника 
:
.
В итоге получаем, что
.
Следовательно,
.
Ответ: 
.
Для наших пользователей доступны следующие материалы: