Задание 17. 15-го января планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:
— 1-го января каждого года долг возрастает на a% по сравнению с концом предыдущего года;
— выплата части долга происходит в январе каждого года после начисления процентов.
Если переводить в банк каждый год по 2 073 600 рублей, то кредит можно выплатить за 4 года. Если по 3 513 600 рублей, то за 2 года.
Найдите a.
Решение.
Обозначим через сумму кредита. Тогда в конце первого года он будет увеличен до рублей. Для простоты записи обозначим через . После этого делается платеж в размере 2073600 рублей, получаем сумму долга:
.
В следующем году сумма долга вновь увеличивается на процентов и погашается на величину , имеем:
.
В результате, через 4 года получим сумму долга
. (1)
Соответственно, при выплате кредита за 2 года платежами , получим
.
Умножим последнее выражение на и вычтем из уравнения (1), получим:
.
Решаем кубическое уравнение, получаем подходящее значение , то есть
% годовых.
Решение кубического уравнения
Решим кубическое уравнения, умножим обе его части на -1, получим:
.
Это уравнение представляет собой кубический многочлен относительно переменной t. Тогда его можно разделить на величину , где a – один из (любой) корней кубического уравнения и получить квадратное уравнение относительно неизвестного t. Теорема Безу гарантирует в этом случае нулевое значение остатка от деления. Проделаем эту операцию. Для поиска какого-либо корня кубического уравнения выбирается его свободный член и записываются делители этого числа:
и путем их подстановки (вместо t) проверяются на соответствие корням. Первое число t=1 дает:
не подходит. Второе число t=-1:
подходит, то есть t=-1 является одним из корней кубического уравнения. Теперь выполним деление кубического многочлена на t-1, воспользовавшись схемой Горнера, имеем:
|
|
|
|
|
-1 |
|
0 |
|
0 |
В результате получаем квадратное уравнение для оставшихся двух корней:
Подставляем вместо и , вычисляем эти корни:
.
Так как проценты начисляются на сумму долга, то величина t должна быть больше 0. Следовательно, из всех трех корней подходит только значение t=1,2.
Ответ: 20.
Другие задания: