Задание 19. У каждого ученика в классе дома живёт кошка или собака, а у некоторых, возможно, — и кошка, и собака. Известно, что мальчиков, имеющих собак, не более 1/4 от общего числа учеников, имеющих собак, а мальчиков, имеющих кошек не более 5/11 от общего числа учеников, имеющих кошек.
а) Может ли быть в классе 11 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в классе 21 ученик?
б) Какое наибольшее количество мальчиков может быть в классе, если дополнительно известно, что всего в классе 21 ученик?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учеников без дополнительного условия пунктов а и б?
Решение.
а)-б)
Данную задачу следует решать в предположении того, что девочки держат как собак
так и кошек. Обозначим через 
число мальчиков, у которых живет собака,
а через 
-
число мальчиков, у которых живет кошка, через 
(закрашенные ячейки) обозначим число
мальчиков, у которых живет и собака и кошка (см. таблицу ниже).
|
|
|
|
|
|
число девочек |
|||||||||
|
1 |
1 |
... |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
... |
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
... |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
... |
2 |
|
|
|
|
|
число девочек |
||||||||||
Таким образом, общее число мальчиков равно
,
а число девочек
.
По условию задачи число мальчиков, у которых живет собака равно 1/4 от общего числа детей, у которых живет собака, т.е.
,
а число мальчиков с кошками
.
Таким образом, сумма этих величин дает неравенство
,
отсюда
выражаем ,
имеем:
Можно
увидеть, что параметр 
не влияет на максимальное число мальчиков
и его пока можно приравнять нулю. Найдем значение , при котором 
, например, при 
, получим:
,
то
есть 
.
Сделаем проверку найденных значений. Общее число собак равно
,
общее число кошек
,
тогда
Отсюда следует, что мальчиков с собаками можно взять 2, а мальчиков с кошками – 9 (при этом общее число собак и кошек не изменится, а значит и неравенства останутся прежними). Таким образом, максимальное число мальчиков, равно
9+2=11.
Ответ: а) да; б) 11.
в)
Чтобы максимизировать долю мальчиков (то есть минимизировать долю девочек)
нужно полагать, что мальчики содержат либо собак, либо кошек, т.е. мальчиков
одновременно с собаками и кошками не будет. А девочки наоборот, все будут иметь
и собак и кошек. Обозначим общее число девочек через 
, число мальчиков с собаками
через 
, а
число мальчиков с кошками – через 
. В этих обозначениях доля девочек по
отношению ко всем учащимся, будет равна
. (1)
В соответствии с указанными в задаче долями, можем записать следующие неравенства:
Раскрываем их, получаем:
Так
как величины 
строго
больше 0, то имеет место правило
,
где
. Применим
это правило к нашим неравенствам, получим:
Теперь перепишем неравенство (1) в виде
Подставим
в него максимальное значение 
, получим:
.
Ответ: 
.
Другие задания: