Решение 4654. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.

Источник задания: Решение 4654. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.

Задание 19. У каждого ученика в классе дома живёт кошка или собака, а у некоторых, возможно, — и кошка, и собака. Известно, что мальчиков, имеющих собак, не более 1/4 от общего числа учеников, имеющих собак, а мальчиков, имеющих кошек не более 5/11 от общего числа учеников, имеющих кошек.

а) Может ли быть в классе 11 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в классе 21 ученик?

б) Какое наибольшее количество мальчиков может быть в классе, если дополнительно известно, что всего в классе 21 ученик?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учеников без дополнительного условия пунктов а и б?

Решение.

а)-б) Данную задачу следует решать в предположении того, что девочки держат как собак так и кошек. Обозначим через число мальчиков, у которых живет собака, а через - число мальчиков, у которых живет кошка, через (закрашенные ячейки) обозначим число мальчиков, у которых живет и собака и кошка (см. таблицу ниже).

число девочек

1

1

...

1

1

1

1

1

1

...

1

2

2

2

...

2

2

2

2

2

2

...

2

число девочек

Таким образом, общее число мальчиков равно

а число девочек

По условию задачи число мальчиков, у которых живет собака равно 1/4 от общего числа детей, у которых живет собака, т.е.

а число мальчиков с кошками

Таким образом, сумма этих величин дает неравенство

отсюда выражаем , имеем:

Можно увидеть, что параметр не влияет на максимальное число мальчиков и его пока можно приравнять нулю. Найдем значение , при котором , например, при , получим:

то есть . Сделаем проверку найденных значений. Общее число собак равно

общее число кошек

тогда

Отсюда следует, что мальчиков с собаками можно взять 2, а мальчиков с кошками – 9 (при этом общее число собак и кошек не изменится, а значит и неравенства останутся прежними). Таким образом, максимальное число мальчиков, равно

9+2=11.

Ответ: а) да; б) 11.

в) Чтобы максимизировать долю мальчиков (то есть минимизировать долю девочек) нужно полагать, что мальчики содержат либо собак, либо кошек, т.е. мальчиков одновременно с собаками и кошками не будет. А девочки наоборот, все будут иметь и собак и кошек. Обозначим общее число девочек через , число мальчиков с собаками через , а число мальчиков с кошками – через . В этих обозначениях доля девочек по отношению ко всем учащимся, будет равна