Задание 14. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 20, боковые рёбра равны 11.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через A1B1 и середину ребра ВС, является трапецией.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины A1B1 и середину ребра ВС.
Решение.
а) В правильной
призме плоскости оснований ABC и 
параллельны друг
другу. Плоскость сечения проходит через точки 
и точку M, находящейся на
середине отрезка BC, следовательно, плоскость сечения будет также
пересекать в центре и отрезок AC в точке N, то есть MN – средняя линия
треугольника ABC и 
. Так как 
, то и 
. Учитывая, что длина
отрезка 
, то
получаем фигуру с разными по длине, но параллельными отрезками – такая фигура
может образовывать только трапецию.
б) В основании
правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник, следовательно,
трапеция 
-
равнобедренная. Площадь трапеции будем искать по формуле
.
Найдем
высоту трапеции NH из прямоугольного треугольника 
. Гипотенузу 
этого треугольника найдем по
теореме Пифагора из прямоугольного треугольника 
, получим:
Катет
треугольника
вычислим с
учетом равнобедренности трапеции 
и длины 
, получим:
.
В результате, высота NH трапеции будет равна
и площадь сечения
.
Ответ: 210.
Другие задания: