Задание 16. Медианы AM и BN треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке Р.
а) Докажите, что CP = АВ.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что АС = 4 и ВС = 7.
Решение.
а) Рассмотрим треугольник ABC, в котором отмечены медианы AM, BN и CF. Медианы пересекаются в одной точке P и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. То есть можно записать, что CP=2FP. Учитывая, что точка F находится на середине отрезка AB и треугольник APB прямоугольный (по условию задания), то точка F является центром описанной окружности вокруг треугольника APB. Следовательно, отрезки AF, FB, FP – радиусы этой окружности, и FP=2AB. Но так как FP=2PC, то 2AB=2PC, и, значит, AB=CP.
б) Пусть 
и 
, соответственно, 
и 
. Рассмотрим прямоугольный
треугольник BPM (так как 
). В соответствии с
теоремой Пифагора можно записать равенство:
Аналогично, из прямоугольного треугольника APN, имеем:
Получаем систему уравнений:
Умножим первое уравнение на 4 и вычтем его из второго, получим:
Подставляя полученное значение во второе уравнение, имеем:
Рассмотрим прямоугольный треугольник APB, в котором гипотенуза AB равна
Найдем
косинус угла 
из
треугольника ABC по теореме
косинусов:
тогда
.
Наконец, площадь треугольника ABC равна:
Ответ: 
.
Другие задания: