Задание
14.
В
правильной треугольной пирамиде SABC сторона
основания АВ равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки М
и N — середины рёбер SA и SB соответственно.
Плоскость 
содержит
прямую MN и
перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что
плоскость делит
медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точки С.
б) Найдите объём
пирамиды, вершиной которой является точка С, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью .
Решение.
а) Сечение
(плоскость )
проходит через точки M и N, причем 
- средняя линия. Это
означает, что отрезок 
. По условию секущая плоскость
перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, она пересекает
плоскость ABC по уровню PQ, причем 
. Таким образом,
секущая плоскость представляет собой трапецию PMNQ.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE, где SO – высота правильной пирамиды. Точка O лежит на пересечении медиан правильного треугольника (в основании пирамиды) и делит их в отношении 2:1, то есть
.
Точка
K является
серединой отрезка MN, причем 
, откуда следует, что 
. Так как 
, то 
. Таким образом, получаем, что 
.
б) Площадь сечения (основание пирамиды) MNPQ можно найти по формуле
,
где
; 
; 
(величина SO находится из
прямоугольного треугольника SOC по теореме
Пифагора
,
учитывая,
что OC – радиус
описанной окружности вокруг равностороннего треугольника и равен 
). Подставляем числовые
значения в формулу площади, получаем:
.
Объем пирамиды найдем по формуле
,
где
- высота
пирамиды, причем
Таким образом, высота пирамиды равна
,
и объем равен
.
Ответ: 
.
Другие задания:
