Решение 3449. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.

Источник задания: Решение 3449. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.

Задание 14. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки М и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точки С.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка С, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью .

Решение.

а) Сечение (плоскость ) проходит через точки M и N, причем - средняя линия. Это означает, что отрезок . По условию секущая плоскость перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, она пересекает плоскость ABC по уровню PQ, причем . Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию PMNQ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE, где SO – высота правильной пирамиды. Точка O лежит на пересечении медиан правильного треугольника (в основании пирамиды) и делит их в отношении 2:1, то есть

Точка K является серединой отрезка MN, причем , откуда следует, что . Так как , то . Таким образом, получаем, что .

б) Площадь сечения (основание пирамиды) MNPQ можно найти по формуле

где ; ; (величина SO находится из прямоугольного треугольника SOC по теореме Пифагора

учитывая, что OC – радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника и равен ). Подставляем числовые значения в формулу площади, получаем: