Задание 14. Радиус основания конуса равен 13, а высота конуса равна 24. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду окружности основания, длина которой равна 10.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину этой хорды и высоту конуса, перпендикулярна этой хорде.
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.
Решение.
а) MO – высота конуса, следовательно, 
. Рассмотрим треугольник AOB,
у которого стороны AO=OB=r, так как они равны
радиусу окружности, следовательно, треугольник AOB
равнобедренный с основанием AB. Медиана,
проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также и высотой,
то есть 
. В соответствии с теоремой о трех перпендикулярах, имеем:
. Таким образом, из и следует, что 
.
б)
Угол между плоскостью основания и плоскостью сечения – это угол 
. Рассмотрим прямоугольный треугольник MPO, из которого следует, что тангенс угла , равен:
.
Высота
конуса MO=24 дана по условию задачи. Найдем длину отрезка PO из прямоугольного треугольника APO, в котором известна гипотенуза AO=13 и катет 
,
по теореме Пифагора получаем:
и
,
соответственно,
.
Ответ:
.
Другие задания:
