Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA = √21, SB = √85 , SD = √57.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Решение.
а) Рассмотрим треугольник SAB, в котором стороны подчиняются соотношению
следовательно,
треугольник SAB – прямоугольный
с катетами SA и SB, то есть 
. Аналогично для
треугольника SAD, имеем:
то
есть треугольник SAD – прямоугольный с катетами SA и SD (
). Тогда из
ортогональности и
следует, что
, то есть SA – высота
пирамиды.
б) Угол между SC и BD соответствует углу POD (см. рисунок). В соответствии с теоремой косинусов, угол POD можно найти по формуле
(здесь взят модуль, так как угол между двумя прямыми – всегда острый либо прямой угол).
Для нахождения длины PO найдем сначала длину SC из прямоугольного треугольника SBC по теореме Пифагора:
.
Отрезок
, так как PO – средняя линия
треугольника SAC. Отрезок 
, так как точка O делит диагонали
прямоугольника пополам. Отрезок PD найдем из прямоугольного треугольника DAP, в котором
известен катеты AD=6 и AP=√21:2, получим:
.
Поставляем все найденные числовые значения в формулу косинуса угла POD, имеем:
и угол между SC и BD равен
.
Ответ: 
.
Другие задания: