Задание 8. В правильной треугольной пирамиде SABC рёбра ВА и ВС разделены точками К и L так, что ВК = BL = 4 и КА = LC = 2. Найдите угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL. Ответ выразите в градусах.
Решение.
В правильной треугольной пирамиде в основании лежит правильный (равносторонний) треугольник, а вершина проецируется в центр треугольника.
Вершина пирамиды совпадает с точкой O пересечения высот. В равностороннем треугольнике эти высоты совпадают с медианами и биссектрисами угла.
Рассмотрим
прямоугольный треугольник 
, в котором 
, а 
. Найдем местоположение точки O на отрезке 
. Вспомним, что углы у
равностороннего треугольника равны по 60 градусов, а синие линии являются также
и биссектрисами углов, значит, угол OAH = 60:2 = 30 градусов. Теперь, учитывая, что тангенс 30 градусов
это
получаем, что
.
Определим
проекцию точки O на ребро 
треугольника. Учитывая, что 
, получаем
Это
расстояние в точности равно отрезку LC, а значит, плоскость 
совпадает с высотой
вершины и, следовательно, составляет прямой угол с плоскостью основания.
Ответ: 90.
Другие задания: