Задание 8. В правильной треугольной пирамиде SABC рёбра ВА и ВС разделены точками К и L так, что ВК = BL = 4 и КА = LC = 2. Найдите угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL. Ответ выразите в градусах.
Решение.
В правильной треугольной пирамиде в основании лежит правильный (равносторонний) треугольник, а вершина проецируется в центр треугольника.
Вершина пирамиды совпадает с точкой O пересечения высот. В равностороннем треугольнике эти высоты совпадают с медианами и биссектрисами угла.
Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором , а . Найдем местоположение точки O на отрезке . Вспомним, что углы у равностороннего треугольника равны по 60 градусов, а синие линии являются также и биссектрисами углов, значит, угол OAH = 60:2 = 30 градусов. Теперь, учитывая, что тангенс 30 градусов это
получаем, что
.
Определим проекцию точки O на ребро треугольника. Учитывая, что , получаем
Это расстояние в точности равно отрезку LC, а значит, плоскость совпадает с высотой вершины и, следовательно, составляет прямой угол с плоскостью основания.
Ответ: 90.
Другие задания: