Задание 14. а) Докажите, что в правильной треугольной призме АВСА1В1С1 прямая, проходящая через середины отрезков AA1 и ВС1, перпендикулярна этим отрезкам.
б) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA1 и BC1.
Решение.
а) Рассмотрим два
треугольника AMB и 
, которые равны между
собой по двум сторонам 
и углу (они оба прямоугольные).
Следовательно, у них также равны и стороны 
. Таким образом имеем равнобедренный
треугольник 
с
точкой N, находящейся на
середине основания 
,
то есть MN – медиана
равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию. Но тогда она также
является и высотой этого треугольника и 
.
По
аналогии, из двух равных треугольников ABN и 
имеем 
и рассматривая
равнобедренный треугольник 
, имеем точку M, лежащей в
центре основания 
,
то есть MN является
медианой равнобедренного треугольника , а следовательно, и его высотой, то есть 
.
б) Расстояние
между прямыми и
- это
отрезок MN, так как он
перпендикулярен обеим прямым. Для нахождения длины MN, найдем сначала
два других отрезка по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника 
:
,
и
из прямоугольного треугольника 
:
.
Тогда
из прямоугольного треугольника 
, имеем:
.
Ответ: 
.
Другие задания: