Задание 14. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 15, точка D — середина ребра СС1.
а) Пусть прямые BD и В1С1 пересекаются в точке Е. Докажите, что угол ЕА1В1 — прямой.
б) Найдите угол между плоскостями А1В1С1 и BDA1.
Решение.
а) Рассмотрим
подобные треугольники и
(подобны по двум углам:
- общий угол и
так как
) Учитывая, что точка D – середина ребра
, то
треугольники подобны с коэффициентом подобия 2 (треугольник
в 2 раза больше треугольника
). Следовательно,
, и так как
, то прямая
является средней
линией треугольника
,
а значит, точка
лежит
по середине отрезка
и
. Это
означает, что треугольник
равнобедренный с основанием
. Так как углы при
основании равны, а угол
(в основании призмы лежит равносторонний
треугольник с углами 60 градусов), то угол
и
,
то есть он является прямым.
б) Угол между
плоскостями и
- это линейный
угол
(см.
рисунок). Точка H – это высота, проведенная к отрезку
, то есть
. Также
, и по теореме о трех
перпендикулярах получаем, что
, то есть треугольник
- прямоугольный. Из
прямоугольного треугольника
можно найти тангенс угла
как
.
Длина
отрезка , а
длина отрезка
(из
прямоугольного треугольника
), равна
.
Таким образом, тангенс угла
и
.
Ответ: .
Другие задания: