Задание 14. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 15, точка D — середина ребра СС1.
а) Пусть прямые BD и В1С1 пересекаются в точке Е. Докажите, что угол ЕА1В1 — прямой.
б) Найдите угол между плоскостями А1В1С1 и BDA1.
Решение.
а) Рассмотрим
подобные треугольники 
и 
(подобны по двум углам: 
- общий угол и 
так как 
) Учитывая, что точка D – середина ребра
, то
треугольники подобны с коэффициентом подобия 2 (треугольник в 2 раза больше треугольника ). Следовательно, 
, и так как , то прямая 
является средней
линией треугольника ,
а значит, точка 
лежит
по середине отрезка 
и
. Это
означает, что треугольник 
равнобедренный с основанием 
. Так как углы при
основании равны, а угол 
(в основании призмы лежит равносторонний
треугольник с углами 60 градусов), то угол
и
,
то есть он является прямым.
б) Угол между
плоскостями 
и
- это линейный
угол 
(см.
рисунок). Точка H – это высота, проведенная к отрезку , то есть 
. Также 
, и по теореме о трех
перпендикулярах получаем, что 
, то есть треугольник 
- прямоугольный. Из
прямоугольного треугольника можно найти тангенс угла как
.
Длина
отрезка 
, а
длина отрезка 
(из
прямоугольного треугольника 
), равна
.
Таким образом, тангенс угла
и
.
Ответ: 
.
Другие задания: