Задание 19. В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2046.
а) Может ли в последовательности быть три члена?
б) Может ли в последовательности быть четыре члена?
в) Может ли в последовательности быть меньше 2046 членов?
Решение.
а) Если в последовательности 3 члена, то для арифметической последовательности средний член должен быть равен
- не целое число.
Для
геометрической прогрессии должно существовать такое целое 
, при которой
,
то есть
- не целое.
Ответ: нет.
б)
Четыре члена арифметической прогрессии можно записать как 
, где последний член 
, откуда
- не целое число.
Для четырех членов геометрической прогрессии имеем:
,
откуда
Ответ: нет.
в) Разложим число 2046-1=2045 на простые множители, получим:
,
отсюда
следует, что можно взять арифметическую последовательность с разностью 
и 6-ю членами.
Последний член этой последовательности будет равен 2045+1=2046, а первый 1:
1, 410, 819, 1228, 1637, 2046.
Ответ: да.
Другие задания: