Задание 14. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 6. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 2.
а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые AS и OL параллельны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.
Решение.
а) В основании
правильной пирамиды лежит квадрат, то есть ABCD – квадрат.
Диагонали в квадрате пересекаются в точке O и делятся этой
точкой пополам. Точка L – середина SC по условию
задачи. Отсюда следует, что OL – средняя линия
треугольника SAC и, следовательно, 
и 
.
б) Сначала найдем
длину бокового ребра AS. Учитывая пункт а) можно заключить, что
в задаче дано значение 
(см. рисунок). Рассмотрим равнобедренный треугольник
DLB (так как DL=LB), в котором
точка O лежит по
середине BD, следовательно,
LO – медиана и
высота треугольника DLB, то есть 
и треугольник LOB – прямоугольный.
Тогда можно записать, что
.
В свою очередь OB равно половине BD и из прямоугольного треугольника BDC по теореме Пифагора, имеем:
и
.
В
пункте а) было показано, что , то есть
.
Площадь поверхности пирамиды можно найти как
,
где
- площадь
боковой поверхности; 
-
площадь основания. Площадь основания будет равна
,
а площадь боковой поверхности
,
где
- площадь равнобедренного
треугольника ABS с длиной
основания AB=6 и высотой
,
то есть
и
.
Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды, равна
.
Ответ: 72.
Другие задания: