Задание 16. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 3, ВС = CD = 5, AD = 8 и диагональю АС = 7.
а) Докажите, что около него можно описать окружность.
б) Найдите диагональ BD.
Решение.
а) У любого четырехугольника вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна 180 градусов. Покажем, что для заданного четырехугольника выполняется это свойство. Рассмотрим треугольник ABC, в котором косинус угла B в соответствии с теоремой косинусов будет равен:
Аналогично для противоположного угла D из треугольника ACD, имеем:
Таким образом, получаем, что сумма углов , следовательно, вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.
б) Рассмотрим треугольник ABD и по теореме косинусов можно записать:
Также диагональ BD можно вычислить по теореме косинусов из треугольника BCD:
Вычтем (1) и (2), получим:
Подставим это значение в (1), найдем BD:
и
.
Ответ: .
Другие задания: