Задача 1. В некоторой местности наблюдения показали:
1. Если июньское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.
2. Если июньское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,4.
3. Вероятность того, что утро в июне будет пасмурным, равна 0,3.
Найдите вероятность того, что в случайно взятый июньский день дождя не будет.
Решение.
Рассмотрим два несовместных события:
: июньский день
пасмурный, но дождь не пошел;
: июньский день ясный и
дождь не пошел.
По условию задачи нужно найти вероятность события 
того, что дождь не пойдет
ни в пасмурный, ни в ясный день. Найдем вероятности событий и . Событие включает в себя два независимых события: день
пасмурный и дождь не пошел. Вероятность того, что день пасмурный дано по
условию задачи и равна 0,3. Вероятность того, что дождь не пойдет в пасмурный
день, равна обратной вероятности того, что дождь пойдет, т.е. 
. Таким образом,
вероятность события ,
равна
.
Аналогичны рассуждения и для события . Вероятность того, что
день будет ясный, равна 0,7. Вероятность того, что дождь не пойдет в ясный
день, равна 
.
Окончательно, для события имеем:
.
Искомая вероятность события 
, равна
.
Ответ: 0,81.
Задача 2. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,7, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется.
Решение.
Рассмотрим два несовместных события:
– ковбой Джон
промахивается из пристрелянного револьвера;
– ковбой Джон
промахивается из непристрелянного револьвера.
Решение задачи будет состоять в подсчете суммы вероятностей этих двух событий, так как Джон может промахнуться или в первом случае, или во втором.
Найдем вероятность
события . Оно
состоит из двух независимых событий: во-первых, Джон должен схватить
пристрелянный револьвер (вероятность 2/10) и, во-вторых, промахнуться (вероятность
1-0,7), в итоге получаем:
.
Найдем вероятность
события . Оно
также состоит из двух независимых событий: во-первых, Джон должен схватить непристрелянный
револьвер (вероятность 8/10) и, во-вторых, промахнуться (вероятность 1-0,3),
получаем:
.
Искомая вероятность того, что Джон промахнется, равна
Ответ: 0,62.
Задача 3. Игральную кость бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.
Решение.
При бросании игральной кости могут выпадать числа 1,2,3,4,5 и 6 с равной вероятностью 1/6. Нас интересует выпадение одного из чисел 4, 5 или 6 при первом бросании игральной кости и выпадение таких же чисел при втором бросании. Вероятность появления одного из чисел 4, 5 или 6 равна сумме вероятности этих событий, т.е.
при втором бросании
Тогда вероятность того, что и при первом бросании, и при втором будут выпадать числа 4, 5 и 6, равна произведению вероятностей этих независимых событий:
.
Ответ: 0,25.
Задача 4. Игральную кость (кубик) бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что один раз выпало число, большее 3, а другой раз – меньшее 3.
Решение.
Для решения данной задачи выделим два независимых события:
– при бросании выпало
число или 4, или 5, или 6;
– при бросании выпало
число или 1, или 2.
Решением задачи будет нахождение вероятности произведения этих двух событий:
.
Найдем вероятность
события . Так как
вероятность выпадения какого-либо числа у игрального кубика равна 1/6, то
вероятность появления одного из 3 чисел 4, 5 или 6, равна
.
Здесь учтено, что события, связанные с выпадением того или иного числа несовместны, т.е. не происходят одновременно.
Вероятность события выпадения какого-либо
числа 1 или 2, вычисляется аналогично
.
И решение задачи равно
Ответ: 
.
Задача 5. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что первые два броска окончатся одинаково.
Решение.
1-й способ.
Данную задачу можно решить по методу модуля 1. Найти общее число равновозможных
исходов 
.
Определить число исходов 
,
благоприятных условию задачи, и вычислить вероятность по формуле 
.
2-й способ. Первые два броска могут закончиться одинаково, когда произойдет одно из четырех несовместных событий:
– решка, решка, орел;
– решка, решка, решка;
– орел, орел, решка;
– орел, орел, орел.
Вероятность того, что
при бросании выпадет решка или орел, равны по 1/2. Вероятность того, что решка
или орел будут выпадать в строгой последовательности от броска к броску,
вычисляется как произведение вероятностей соответствующих независимых событий.
То есть, вероятность события будет равна
.
Аналогично вычисляются вероятности событий , и :
.
Наконец, вероятность
того, что при трехкратном бросании монеты произойдет одно из четырех
несовместных событий ,
, или , равна сумме вероятностей этих несовместных
событий:
.
Ответ: 0,5.