Задание 16. Диагональ АС прямоугольника ABCD с центром О образует со стороной АВ угол 30°. Точка Е лежит вне прямоугольника, причём угол BEC = 120°.
а) Докажите, что угол CBE равен углу COE.
б) Прямая ОЕ пересекает сторону AD прямоугольника в точке К. Найдите EK, если известно, что BE = 12 и СЕ = 20.
Решение.
а) Задан прямоугольник ABCD с диагоналями AC и BD. Так как угол CAB равен 30°, то
(как
внешний угол для треугольника AOB). В четырехугольнике OBEC 
по условию задания, 
(см. выше),
следовательно,
,
это
означает, что вокруг этого четырехугольника можно описать окружность и все
точки B, E, C, O лежат на ней, а
вписанные углы COE и CBE опираются на одну дугу CE, то есть, они
равны 
.
б) Стороны EO и CB пересекаются в
точке M и 
. Найдем BC по теореме
косинусов из треугольника BEC:
Вписанные углы BEO и CEO опираются на равные хорды BO и CO, следовательно, EO – биссектриса угла BEC. По формуле для биссектрис (в треугольнике BEC), имеем:
По свойству биссектрис:
,
откуда
.
Так как BC = CM+BM = 28, получаем:
а
По теореме о произведении пересекающихся хорд, имеем:
Треугольник
COM равен
треугольнику AOK по стороне и
двум прилегающим к ней углам и OC=AO (диагонали в
прямоугольнике делятся точкой пересечения пополам). Также 
как вертикальные и 
как накрест лежащие.
Поэтому OM = OK = 24,5 и
Ответ: 56,5.
Другие задания: