ЕГЭ и ОГЭ
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко. Профильный уровень (36 вариантов)

Вариант 20. Задание 14. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 14. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F — середина ребра SB, Q — середина ребра SC.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABQ и QDF.

б) Найдите угол между плоскостями ABQ и QDF.

Решение.

а) Плоскость ABQ – это равнобедренная трапеция AQ1QB, так как SABCD – правильная пирамида и Q – середина SC. Плоскость QDF – это равнобедренная трапеция QDAF. При этом, AQ является общей прямой для обеих плоскостей.

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник ASC. Диагональ AC = √2, тогда справедливо равенство

,

то есть, треугольник ASC – прямоугольный (согласно обратной теореме Пифагора). Тогда и треугольник ASQ также прямоугольный с гипотенузой AQ:

Рассмотрим равносторонний треугольник ASD со сторонами 1. В таком треугольнике медиана . Учитывая, что QQ1 – средняя линия треугольника SDC, то есть, , запишем теорему косинусов в виде:

а синус этого угла

Вычислим площадь треугольника AQ1Q по формуле:

Также эту площадь можно выразить как

,

откуда

.

Стороны , так как пирамида правильная.

Рассмотрим треугольник DSB, в котором Q1F – средняя линия, параллельная основанию DB=√2, следовательно, . Рассмотрим треугольник Q1HF, в котором угол Q1HF – это линейный угол двугранного угла между плоскостями ABQ и QDF. Найдем косинус этого угла из теоремы косинусов:

и угол равен (учитывая, что arccos(-α)=π-arccos(α)):

Ответ:

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2018 г.
Объем: 76 стр.

Другие задания варианта:

Видео по теме