Задание 14. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F — середина ребра SB, Q — середина ребра SC.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABQ и QDF.
б) Найдите угол между плоскостями ABQ и QDF.
Решение.
а) Плоскость ABQ – это равнобедренная трапеция AQ1QB, так как SABCD – правильная пирамида и Q – середина SC. Плоскость QDF – это равнобедренная трапеция QDAF. При этом, AQ является общей прямой для обеих плоскостей.
б) Рассмотрим прямоугольный треугольник ASC. Диагональ AC = √2, тогда справедливо равенство
,
то есть, треугольник ASC – прямоугольный (согласно обратной теореме Пифагора). Тогда и треугольник ASQ также прямоугольный с гипотенузой AQ:
Рассмотрим
равносторонний треугольник ASD со сторонами 1. В таком треугольнике
медиана 
.
Учитывая, что QQ1 – средняя линия
треугольника SDC, то есть, 
, запишем
теорему косинусов в виде:
а синус этого угла
Вычислим площадь треугольника AQ1Q по формуле:
Также эту площадь можно выразить как
,
откуда
.
Стороны
, так как
пирамида правильная.
Рассмотрим
треугольник DSB, в котором Q1F – средняя линия,
параллельная основанию DB=√2, следовательно, 
. Рассмотрим
треугольник Q1HF, в котором угол
Q1HF – это линейный
угол двугранного угла между плоскостями ABQ и QDF. Найдем косинус
этого угла из теоремы косинусов:
и угол равен (учитывая, что arccos(-α)=π-arccos(α)):
Ответ: 
Другие задания: