Задание 14. Все рёбра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 имеют длину 6. Точки М и N — середины рёбер АА1 и А1С1 соответственно.
а) Докажите, что прямые ВМ и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
Решение.
а) В основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник. Проведем в основании призмы высоту BH, причем точка H будет делить сторону AC пополам (так как высота в равностороннем треугольнике совпадает с медианой).
Тогда высоту BH можно вычислить по теореме Пифагора следующим образом:
.
Вычислим длину отрезка BN из прямоугольного треугольника BNH также по теореме Пифагора:
.
Чтобы доказать перпендикулярность отрезков BM и MN нужно показать, что их сумма квадратов будет равна 63 (это должно следовать по теореме Пифагора):
следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M.
б) Сначала
проведем перпендикуляр NP к прямой A1B1. Тогда
получим, что 
,
и, следовательно, 
.
Отсюда следует, что прямая NP – это проекция MN на плоскость ABB1.
В
предыдущем пункте было показано, что 
и по теореме о трех перпендикулярах имеем 
. Следовательно, угол NMP – линейный угол
искомого угла между плоскостями BMN и ABB1. Вычислим этот
угол.
Найдем
длину отрезка NP. Так как точка N – середина отрезка
A1C1, то длина NP будет в два
раза меньше высоты треугольника A1B1C1. Так как этот
треугольник равносторонний, то его исходная высота (по теореме Пифагора) равна 
, следовательно, 
. Тогда синус угла NMP можно выразить
как
и
.
Ответ: 
.
Для наших пользователей доступны следующие материалы: