Задание 16. На сторонах АВ, ВС, CD и AD параллелограмма ABCD отмечены точки K, L, М и N соответственно, причем AK/KB=BL/LC=CM/MD=DN/NA.
а) Докажите, что четырёхугольник KLMN — параллелограмм, а его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.
б) Найдите отношение площадей параллелограммов KLMN и ABCD, если известно, что AK/KB = 2.
Решение.
а)
Так
как ABCD –
параллелограмм, то 
,
, AB=CD, BC=AD, 
, 
. Обозначим через 
отрезок KB,
соответственно, длина отрезка 
, где 
- некоторое положительное число.
Аналогично определим и для других отрезков (см. рисунок):
Рассмотрим треугольники KBL и MDN, которые равны по двум сторонам и углу (см. рисунок), следовательно, KL=MN. По аналогии из треугольников AKN и CML следует равенство KN=LM. Таким образом, доказали, что KLMN – параллелограмм.
б) Так как 
, то число 
. Площадь
параллелограмма ABCD можно найти по формуле
.
Площадь параллелограмма KLMN можно найти как разность между площадью параллелограмма ABCD и четырех равных площадей треугольников KBL, LCM, NDM и ANK:
и отношение площадей равно
.
Ответ: 
.
Другие задания: