Задание 16. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Решение.
а) Треугольник ABC – равнобедренный (AB = BC), BH – высота, следовательно, BH – биссектриса угла ABC. Окружность с центром в точке O вписана в угол CBE, поэтому ее центр находится на биссектрисе (BO) угла CBE. Углы ABC и CBE – смежные, их сумма равна 180°, следовательно, сумма углов HBC и OBC равна 90°. Получаем, что в четырехугольнике HBON
то есть, имеем прямоугольник HBON. Его противоположные стороны равны BH=ON и радиус окружности с центром O равен высоте треугольника ABC.
б) Пусть радиус
вписанной окружности равен r. Так как радиус описанной окружности в 4
раза больше радиуса вписанной окружности, то BH=4r, а 
(см. рисунок).
Прямоугольник O1MB –
прямоугольный, так как 
(BC – касательная, а O1M – радиус).
Тогда по теореме Пифагора, имеем:
.
Рассмотрим
треугольники BO1M и BCH, которые
подобны по двум углам (угол B – общий, а 
). Следовательно,
,
откуда
Также
CH=CM по теореме об
отрезках касательных, то есть, 
. Соответственно,
.
Ответ: CM:BM = 1:2.
Другие задания: