Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко. Профильный уровень (36 вариантов)

Вариант 7. Задание 16. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 16. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.

б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Решение.

а) Треугольник ABC – равнобедренный (AB = BC), BH – высота, следовательно, BH – биссектриса угла ABC. Окружность с центром в точке O вписана в угол CBE, поэтому ее центр находится на биссектрисе угла ABC. Углы ABC и CBE – смежные, их сумма равна 180°, следовательно, сумма углов HBC и OBC равна 90°. Получаем, что в четырехугольнике HBON

то есть, имеем прямоугольник HBON. Его диагонали равны BH=ON и радиус окружности с центром O равен высоте треугольника ABC.

б) Пусть радиус вписанной окружности равен r. Так как радиус описанной окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности, то BH=4r, а  (см. рисунок). Прямоугольник O1MB – прямоугольный, так как  (BC – касательная, а O1M – радиус). Тогда по теореме Пифагора, имеем:

.

Рассмотрим треугольники BO1M и BCH, которые подобны по двум углам (угол B – общий, а ). Следовательно,

,

откуда

Также CH=CM по теореме об отрезках касательных, то есть, . Соответственно,

.

Ответ: CM:BM = 1:2.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта:

Видео по теме