Задание 19. Про некоторый набор, состоящий из 11 различных натуральных чисел, известно, что сумма любых двух различных чисел этого набора меньше суммы любых трёх различных чисел этого набора.
а) Может ли одним из этих чисел быть число 3000?
б) Может ли одним из этих чисел быть число 16?
в) Какое наименьшее возможное значение может принимать сумма чисел такого набора?
Решение.
а) Рассмотрим возрастающую последовательность натуральных чисел. Пусть a,b,c – первые три натуральных числа из набора (наименьшие, расставленные по возрастанию), а e, f – последние два натуральных числа из набора 11 чисел (наибольшие). По условию необходимо чтобы выполнялось
.
Это неравенство определяет «наихудший» вариант суммы двух и трех слагаемых, т.е., если оно будет выполняться, то оно будет выполняться для любых чисел возрастающей последовательности.
Начальное значение последовательности
обозначим как 
,
а второй член – как 
,
где 
-
скорость возрастания последовательности, имеем:
Так как число n должно быть
целым положительным числом, то выберем, например, 
, получим:
Имеем последовательность:
30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 49, 40
в которой сумма двух любых слагаемых меньше суммы трех.
По условию задачи необходимо, чтобы в
последовательности присутствовало число 3000, проверим неравенство при 
, получим:
то есть можно взять последовательность
3000, 3001, 3002, 3003, 3004, 3005, 3006, 3007, 3008, 3009, 3010
Ответ: да.
б) Проверим неравенство при 
, получим:
так как должно быть больше 0, то
последовательность сформирована быть не может.
Ответ: нет.
в) Наименьшее значение она может
принимать при наименьших 
, т.е. при 
и 
:
17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27,
и сумма этих членов равна
Ответ: 242.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: