Задание 14. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 10. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = АЕ = LM = 4.
а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.
Решение.
а) В правильной треугольной
пирамиде высота M проецируется в точку O пересечения
медиан правильного (равностороннего) треугольника. Медианы делят друг друга в
соотношении 1:2, то есть 
.
По условию задания 
, длина отрезков 
, следовательно, точки D и E делят стороны AB и AC в соотношении 
. Это означает, что
точка пересечения 
также
делит медиану AP в соотношении . Но это означает, что
точка O является
проекцией вершины пирамиды M на основание, т.е. DE содержит центр
основания пирамиды.
б) Сечением пирамиды является треугольник ELD. Для нахождения его площади найдем длину основания ED и высоту LO. Основание ED находится в соотношении 1:2 с отрезком BC, т.е.
.
Найдем высоту пирамиды MO из
прямоугольного треугольника AOM, с катетом 
(так как AO – радиус
описанной окружности, который соотносится со стороной правильного треугольника
как 
):
.
Сторона 
, а сторона 
(так как AL = 6/10*AM, и соответственно AN=6/10*AO).
Таким образом, высота сечения LO равна
и площадь сечения
.
Другие задания: