Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко. Профильный уровень (36 вариантов)

Вариант 35. Задание 14. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 14. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 10. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = АЕ = LM = 4.

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.

Решение.

а) В правильной треугольной пирамиде высота M проецируется в точку O пересечения медиан правильного (равностороннего) треугольника. Медианы делят друг друга в соотношении 1:2, то есть .

По условию задания , длина отрезков , следовательно, точки D и E делят стороны AB и AC в соотношении . Это означает, что точка пересечения  также делит медиану AP в соотношении . Но это означает, что точка O является проекцией вершины пирамиды M на основание, т.е. DE содержит центр основания пирамиды.

б) Сечением пирамиды является треугольник ELD. Для нахождения его площади найдем длину основания ED и высоту LO. Основание ED находится в соотношении 1:2 с отрезком BC, т.е.

.

Найдем высоту пирамиды MO из прямоугольного треугольника AOM, с катетом  (так как AO – радиус описанной окружности, который соотносится со стороной правильного треугольника как ):

.

Сторона , а сторона  (так как AL = 6/10*AM, и соответственно AN=6/10*AO). Таким образом, высота сечения LO равна

и площадь сечения

.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта:

Видео по теме