Задание 19. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Решение.
а) Задачу можно решить, если взять два
разных двухзначных числа и сложить их n раз. Пусть 
- первая цифра первого
двухзначного числа, 
-
вторая цифра, 
-
первая цифра второго двухзначного числа, 
- последняя цифра. По условию задачи
должно быть равенство
.
Если же цифры перевернуть, то должны получить
.
Следовательно, отношение этих величин должно быть равно
,
откуда получаем
Так как 
- это цифры, то чтобы получить 2 
. Величины 
можно взять разные,
например, 
.
Теперь найдем число слагаемых 
:
Таким образом, получили числа 17 и 16, которые при суммировании по 11 раз дадут число 363, а числа 71 и 61 при том же суммировании по 11 раз дадут число 1452, которое в 4 раза больше числа 363.
Ответ: 17 и 16.
б) Посмотрим, можно ли получить сумму ровно в 2 раза больше 363:
откуда
В сумме такие числа всегда будут кратны
99, т.к. 
, а
число 363 не делится нацело на 99, следовательно, найти числа в соотношении 1:2
невозможно.
Ответ: нет.
в) Наибольшая сумма получится, если
цифры взять
максимальными, т.е. 9. Чтобы получить наибольшее число слагаемых, цифры нужно взять равными 1.
Тогда сумму 363 можно представить как
где f – остаток (последнее слагаемое). Найдем число слагаемых для двухзначных чисел 19 и при f=0, получим:
то есть наибольшее целое значение n=9. Найдем последнее слагаемое f при n=9, имеем:
.
Таким образом, получили последовательность из 18 чисел, равных 19, и одно число, равное 21. Переворачивая цифры этих чисел, получим максимально возможную сумму:
.
Ответ: 1650.
Другие задания: