ЕГЭ и ОГЭ
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко. Профильный уровень (36 вариантов)

Источник задания: Решение 5454. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Ответ.

Задание 19. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение.

а) Задачу можно решить, если взять два разных двухзначных числа и сложить их n раз. Пусть  - первая цифра первого двухзначного числа,  - вторая цифра,  - первая цифра второго двухзначного числа,  - последняя цифра. По условию задачи должно быть равенство

.

Если же цифры перевернуть, то должны получить

.

Следовательно, отношение этих величин должно быть равно

,

откуда получаем

Так как  - это цифры, то чтобы получить 2 . Величины  можно взять разные, например, . Теперь найдем число слагаемых :

Таким образом, получили числа 17 и 16, которые при суммировании по 11 раз дадут число 363, а числа 71 и 61 при том же суммировании по 11 раз дадут число 1452, которое в 4 раза больше числа 363.

Ответ: 17 и 16.

б) Посмотрим, можно ли получить сумму ровно в 2 раза больше 363:

откуда

В сумме такие числа всегда будут кратны 99, т.к. , а число 363 не делится нацело на 99, следовательно, найти числа в соотношении 1:2 невозможно.

Ответ: нет.

в) Наибольшая сумма получится, если цифры  взять максимальными, т.е. 9. Чтобы получить наибольшее число слагаемых, цифры  нужно взять равными 1. Тогда сумму 363 можно представить как

где f – остаток (последнее слагаемое). Найдем число слагаемых для двухзначных чисел 19 и при f=0, получим:

то есть наибольшее целое значение n=9. Найдем последнее слагаемое f при n=9, имеем:

.

Таким образом, получили последовательность из 18 чисел, равных 19, и одно число, равное 21. Переворачивая цифры этих чисел, получим максимально возможную сумму:

.

Ответ: 1650.

Другие задания:

Для наших пользователей досутпны следующие материалы:

Видео по теме