Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко. Профильный уровень (36 вариантов)

Вариант 31. Задание 19. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 19. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение.

а) Задачу можно решить, если взять два разных двухзначных числа и сложить их n раз. Пусть  - первая цифра первого двухзначного числа,  - вторая цифра,  - первая цифра второго двухзначного числа,  - последняя цифра. По условию задачи должно быть равенство

.

Если же цифры перевернуть, то должны получить

.

Следовательно, отношение этих величин должно быть равно

,

откуда получаем

Так как  - это цифры, то чтобы получить 2 . Величины  можно взять разные, например, . Теперь найдем число слагаемых :

Таким образом, получили числа 17 и 16, которые при суммировании по 11 раз дадут число 363, а числа 71 и 61 при том же суммировании по 11 раз дадут число 1452, которое в 4 раза больше числа 363.

Ответ: 17 и 16.

б) Посмотрим, можно ли получить сумму ровно в 2 раза больше 363:

откуда

В сумме такие числа всегда будут кратны 99, т.к. , а число 363 не делится нацело на 99, следовательно, найти числа в соотношении 1:2 невозможно.

Ответ: нет.

в) Наибольшая сумма получится, если цифры  взять максимальными, т.е. 9. Чтобы получить наибольшее число слагаемых, цифры  нужно взять равными 1. Тогда сумму 363 можно представить как

где f – остаток (последнее слагаемое). Найдем число слагаемых для двухзначных чисел 19 и при f=0, получим:

то есть наибольшее целое значение n=9. Найдем последнее слагаемое f при n=9, имеем:

.

Таким образом, получили последовательность из 18 чисел, равных 19, и одно число, равное 21. Переворачивая цифры этих чисел, получим максимально возможную сумму:

.

Ответ: 1650.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта:

Видео по теме