Задание 16. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и ВО параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM : МС = 1:3.
Решение.
а) Касательная к окружности перпендикулярна ее радиусам в точке касания, то есть, треугольники OCB и ONB – прямоугольные. Кроме того, треугольники OCB и ONB равны по катету (OC=ON как радиусы) и гипотенузе OB (общая). Следовательно, углы 1 и 2 также равны и это значит, что дуги CF и NF, на которые они опираются, тоже равны.
Угол
CMN – вписанный и
опирается на дугу CN и равен половине ее градусной меры. Получаем, что 
(см. рисунок) и 
по признаку
параллельных прямых.
б) Пусть x – коэффициент пропорциональности. По условию задания AM:MC=1:3, то есть, AM=x, а MC=3x. Также MC – диаметр окружности, поэтому, MO=CO=1,5x (радиусы окружности).
Рассмотрим
подобные треугольники ACB и ANO (подобны по
двум углам: 
,
угол A – общий). Для
подобных треугольников можно записать следующее отношение:
,
откуда
.
По теореме об отрезках касательных, имеем:
CB = BN = 3x.
Рассмотрим
прямоугольный треугольник ABC, в котором 
. Тогда из треугольника CNB по теореме
косинусов, получаем:
В результате, имеем:
Рассмотрим
подобные треугольники AOB и AMN (так как ). Запишем
следующее отношение:
Рассмотрим
равнобедренный треугольник NOC (так как OC = ON – радиусы
окружности), в котором OH – биссектриса, а
значит, и высота и медиана, то есть, 
и NH = CH = 2, NH – высота
трапеции MNBO. Найдем площадь
трапеции MNBO:
Ответ: 7.
Другие задания: