Задание 16. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и ВО параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM : МС = 1:3.
Решение.
а) Касательная к окружности перпендикулярна ее радиусам в точке касания, то есть, треугольники OCB и ONB – прямоугольные. Кроме того, треугольники OCB и ONB равны по катету (OC=ON как радиусы) и гипотенузе OB (общая). Следовательно, углы 1 и 2 также равны и это значит, что дуги CF и NF, на которые они опираются, тоже равны.
Угол CMN – вписанный и опирается на дугу CN и равен половине ее градусной меры. Получаем, что (см. рисунок) и по признаку параллельных прямых.
б) Пусть x – коэффициент пропорциональности. По условию задания AM:MC=1:3, то есть, AM=x, а MC=3x. Также MC – диаметр окружности, поэтому, MO=CO=1,5x (радиусы окружности).
Рассмотрим подобные треугольники ACB и ANO (подобны по двум углам: , угол A – общий). Для подобных треугольников можно записать следующее отношение:
,
откуда
.
По теореме об отрезках касательных, имеем:
CB = BN = 3x.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором . Тогда из треугольника CNB по теореме косинусов, получаем:
В результате, имеем:
Рассмотрим подобные треугольники AOB и AMN (так как ). Запишем следующее отношение:
Рассмотрим равнобедренный треугольник NOC (так как OC = ON – радиусы окружности), в котором OH – биссектриса, а значит, и высота и медиана, то есть, и NH = CH = 2, NH – высота трапеции MNBO. Найдем площадь трапеции MNBO:
Ответ: 7.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: