Задание 16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причём Н — середина АЕ.
а) Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что АВ = 6 и АН = 2√5.
Решение.
а) По условию задания CD – диаметр, поэтому угол DBC = 90° (как вписанный угол, опирающийся на диаметр) и . По условию , следовательно, и , откуда следует, что .
Трапеция BCFA вписана в окружность, следовательно, BCFA – равнобедренная трапеция с AB = CF. По условию , , поэтому треугольник ABE – равнобедренный с AB = BE и . Следовательно, BE = CF и и четырехугольник BCFE – параллелограмм по признаку параллелограмма.
б) Рассмотрим треугольник DAE: , AH = HE, следовательно, треугольник DAE – равнобедренный и , (вертикальные углы равны). Углы DAF и DCF опираются на одну дугу DF, следовательно, они равны и
,
получаем, что , а треугольник CEF – равнобедренный с EF=CF=AB=6. Треугольник ABH – прямоугольный с AB=6, AH=2√5, значит,
По теореме о пересекающихся хордах:
Величина и
Отрезок DB, равен
Площадь четырехугольника ABCD равна
где ; EH1 – высота параллелограмма, равная BH = 4; BC=EF=AB=6 (см. выше). В результате, имеем:
и
.
Ответ: .
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: