Задание 16. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 6 раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Решение.
а) Пусть вписанная окружность с центром О касается боковой стороны АВ и основания ВС равнобедренного треугольника ABC в точках М и H, а окружность с центром О1 касается боковой стороны АВ, продолжения основания ВС в точке D и продолжения боковой стороны АС в точке Е. Тогда АН — высота треугольника ABC.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому АO1 — биссектриса угла ВАЕ. В четырёхугольнике AHDO1 угол НАО1 — прямой как угол между биссектрисами смежных углов ВАС и ВАЕ, а так как , то АНDO1 — прямоугольник, поэтому O1D = АН.
б) Пусть радиус окружности с центром О равен r. Тогда радиус окружности с центром O1 равен 6r.
Из прямоугольного треугольника АОМ находим, что
Прямоугольные треугольники АОМ и АВН подобны по двум углам, поэтому
,
откуда
.
По теореме об отрезках касательных, проведённых к окружности из одной точки, . Следовательно,
Ответ: 1:4.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: