Задание 14. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что CD = BE = AL = 2.
а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.
Решение.
а) В основании правильной
треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник. Проекция
высоты пирамиды на основание лежит на пересечении медиан равностороннего
треугольника, которые делят друг друга в отношении 2:1, то есть 
(см. рисунок).
По условию известно, что 
, а стороны основания
(треугольника) равны 6 единиц, следовательно, 
и 
. Отсюда следует, что и . Но если это так, то
точка O является
проекцией вершины пирамиды M на основание.
б) Двугранный угол между плоскостью ABC и плоскостью ELD равен линейному углу AOL. Проведем перпендикуляр LN (см. рисунок) и рассмотрим прямоугольный треугольник LNO. Тангенс угла AOL (то же самое что и тангенс угла NOL) равен
.
Найдем стороны LN и NO. Рассмотрим прямоугольный треугольник APB, из которого по теореме Пифагора находим
,
соответственно,
.
Длина отрезка 
, так как точка L составляет 1/4 от
длины отрезка AM, и
следовательно, ее проекция N на отрезок AO составляет 1/4
от точки A, оставшаяся
часть составляет 3/4. Получаем:
.
Для нахождения LN рассмотрим прямоугольный треугольник MOA, где
,
так как 
, получаем
и
,
откуда
.
Другие задания:
Для наших пользователей досутпны следующие материалы: