Задание 16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причём Н — середина АЕ.
а) Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что АВ = 6 и АН = 2√5.
Решение.
а)
По
условию задания CD – диаметр, поэтому угол DBC = 90° (как
вписанный угол, опирающийся на диаметр) и 
. По условию 
, следовательно, 
и 
, откуда следует, что 
.
Трапеция
BCFA вписана в
окружность, следовательно, BCFA – равнобедренная трапеция с AB = CF. По условию 
, 
, поэтому треугольник ABE – равнобедренный
с AB = BE и 
. Следовательно, BE = CF и 
и четырехугольник BCFE – параллелограмм
по признаку параллелограмма.
б) Рассмотрим
треугольник DAE: 
, AH = HE, следовательно,
треугольник DAE – равнобедренный
и 
, 
(вертикальные углы
равны). Углы DAF и DCF опираются на
одну дугу DF, следовательно,
они равны и
,
получаем,
что 
, а
треугольник CEF – равнобедренный
с EF=CF=AB=6. Треугольник ABH – прямоугольный
с AB=6,
AH=2√5,
значит,
По теореме о пересекающихся хордах:
Величина
и
Отрезок DB, равен
Площадь четырехугольника ABCD равна
где 
; EH1 – высота параллелограмма, равная BH = 4; BC=EF=AB=6 (см. выше). В
результате, имеем:
и
.
Ответ: 
.
Другие задания: