Задание 16. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине А расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания ВС и первой окружности.
а) Прямая,
проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в
точке Р. Докажите, что 
.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 4/3 и 1/3.
Решение.
а) Пусть Q — точка
пересечения продолжений боковых сторон. Точка
Q,
центры
окружностей и точка Р лежат на одной
прямой, причём QP — биссектриса
прямоугольного треугольника AQD,
Следовательно,
по свойству биссектрисы треугольника 
.
б) Пусть окружность с центром O1 радиуса R = 4/3 касается боковой стороны АВ в точке Е, а основания AD — в точке М; окружность радиуса r = 1/3 с центром O2 касается боковой стороны АВ в точке F, а основания ВС — в точке N.
Опустим перпендикуляр O2Н из центра меньшей окружности на отрезок О1Е. Тогда
,
а так как линия центров окружностей проходит через их точку касания,
.
Значит,
.
Обозначим
. Тогда 
. Получаем:
Из треугольника O2CN находим:
Следовательно,
.
Аналогично,
,
.
Учитывая, что
,
получаем
.
Ответ: 116/7.
Другие задания: