Задание 14. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 3, боковые ребра равны 1, точка D – середина ребра CC1.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
Решение.
а) Построение. Плоскости ABC и будут иметь две общие точки: точка , лежащая на пересечении отрезков BC и и точка A, находящаяся в основании призмы (см. рисунок). Отрезок AN, соединяющий эти две точки, будет образовывать прямую пересечения плоскостей ABC и .
б) Угол между плоскостями будет соответствовать углу , причем отрезок будет являться высотой треугольника ACN. Из рисунка видно, что треугольники и подобны друг другу с коэффициентом подобия . Отсюда следует, что отрезок . Сторона . Следовательно, треугольник ACN равнобедренный с углом (так как угол в силу того, что треугольник ABC равносторонний). В равнобедренном треугольнике высота CH будет являться также и биссектрисой. Высоту CH вычислим из прямоугольного треугольника CHN, в котором CN – гипотенуза с прилежащим к ней углом :
.
Учитывая, что точка D лежит точно посередине отрезка , получаем длину отрезка .
Найдем тангенс угла между плоскостями ABC и из прямоугольного треугольника CDH, получим:
и
.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: