Задание 8. Рёбра правильного тетраэдра ABCD равны 42. Найдите площадь сечения, проходящего через середины рёбер AC, AD и BD.
Решение.
У
правильного тетраэдра все ребра равны, и равны по условию задачи 42. Рассмотрим
равносторонний треугольник 
, у которого углы будут равны по 60
градусов. Проведем высоту из точки 
к основанию 
, получим прямоугольный треугольник, причем,
высота будет делить угол пополам (см. рисунок ниже).
Наша
задача найти длину красного отрезка, точки которого находятся на середине
отрезков 
и 
. Эта линия равна длине
стороны плоскости сечения. Так как сторона 
, а угол 
, то можно записать, что
Откуда
Длина
красной линии равна 
или
.
Следовательно, площадь сечения равна
.
Ответ: 441.
Другие задания:
