Задание 16. Окружность с центром О касается боковой стороны АВ равнобедренного треугольника ABC, продолжения боковой стороны АС и продолжения основания ВС в точке N. Точка М — середина основания ВС.
а) Докажите, что AN = ОМ.
б) Найдите ОМ, если стороны треугольника ABC равны 10, 10 и 12.
Решение.
Решение представлено Григорием Пожидаевым
а)
Отрезки 
(по
свойству касательной), 
(так как AM – медиана к BC равнобедренного
треугольника ABC). Из
ортогональности этих прямых следует, что 
как перпендикуляры к одной прямой.
Пусть AC=AB=a, BC=b, AM=h, тогда можно записать следующие равенства:
Так
как и AM=ON, то AMNO – прямоугольник
с диагоналями AN=OM.
б) По теореме Пифагора можно записать, что
и введем обозначение:
при BH=BN, AH=AJ – как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки. Тогда
,
а CJ=CN как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки. Поэтому
.
Отрезок
и из п. а) AM=ON. Тогда по
теореме Пифагора имеем:
.
Ответ: 
.
Другие задания: