Задание 16. Окружности с центрами O1 и O2 разных радиусов пересекаются в точках A и B. Хорда AC большей окружности пересекает меньшую окружность в точке М и делится этой точкой пополам.
а) Докажите, что проекция отрезка O1O2 на прямую АС в четыре раза меньше АС.
б) Найдите O1O2, если известно, что радиусы окружностей равны 15 и 25, а АС = 48.
Решение.
а) Рассмотрим
равнобедренный треугольник 
с равными сторонами 
(так как они являются радиусами
окружности). Тогда высота, опущенная из точки 
на основание AM, будет в точке K делить это
основание пополам. Из рисунка видно, что отрезок KM является
проекцией 
на
AC и, учитывая,
что AM=MC по условию
задачи, то 
.
б) Найдем сначала
длину отрезка 
из
прямоугольного треугольника 
, в котором известна гипотенуза 
и катет 
:
.
По
аналогии найдем длину отрезка 
из прямоугольного треугольника 
с гипотенузой 
и катетом 
:
.
Теперь
представим, что координата точки 
, тогда координата точки 
, 
, и длину отрезка можно найти как евклидовое
расстояние между точками:
Ответ: 20.
Другие задания: