Задание 14. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 6, точка D — середина ребра CC1.
а) Пусть прямые B1D и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что угол ЕАВ — прямой.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
Решение.
а) Треугольники и ECD равны между
собой как прямоугольные по катету
и острому углу
. Следовательно, стороны
, а значит и
(так как стороны при
основании призмы равны). Получаем равнобедренный треугольник EAC, в котором угол
(так как в
равностороннем треугольнике ABC все углы по 60 градусов и 180-60=120
градусов). Учитывая, что в равнобедренном треугольники углы при основании
равны, то угол
,
и угол
,
то есть является прямым.
б) Покажем, что
линейный угол является
углом между плоскостями ABC и
. Проведем высоту CN к стороне EA, то есть
. Кроме того,
, откуда следует, что
по теореме о трех перпендикулярах.
Следовательно, угол
-
линейный угол угла между плоскостями ABC и
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник DCN, из которого следует, что тангенс угла
.
Длина
, отрезок
, и
,
соответственно,
.
Ответ: .
Другие задания: