Задание 14. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 6, точка D — середина ребра CC1.
а) Пусть прямые B1D и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что угол ЕАВ — прямой.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
Решение.
а) Треугольники 
и ECD равны между
собой как прямоугольные по катету 
и острому углу 
. Следовательно, стороны 
, а значит и 
(так как стороны при
основании призмы равны). Получаем равнобедренный треугольник EAC, в котором угол
(так как в
равностороннем треугольнике ABC все углы по 60 градусов и 180-60=120
градусов). Учитывая, что в равнобедренном треугольники углы при основании
равны, то угол 
,
и угол
,
то есть является прямым.
б) Покажем, что
линейный угол 
является
углом между плоскостями ABC и 
. Проведем высоту CN к стороне EA, то есть 
. Кроме того, 
, откуда следует, что 
по теореме о трех перпендикулярах.
Следовательно, угол -
линейный угол угла между плоскостями ABC и .
Рассмотрим прямоугольный треугольник DCN, из которого следует, что тангенс угла
.
Длина
, отрезок 
, и
,
соответственно,
.
Ответ: 
.
Другие задания:
