ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 3551. Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Известно, что АС = 3MB. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите сумму квадратов медиан АА1 и СС1, если известно, что

 

Задание 16. Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Известно, что АС = 3MB.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан АА1 и СС1, если известно, что АС = 20.

Решение.

а) Треугольник  равнобедренный со сторонами , следовательно, углы . Аналогично и в треугольнике  стороны  и углы  (см. рисунок ниже).

Рассмотрим треугольник ABC, сумма всех углов в котором, равна 180 градусов, следовательно, можно записать

Как видно из рисунка, угол B равен , следовательно, он прямой, а треугольник ABC – прямоугольный.

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором проведены медианы AA1 и CC1 к катетам и медиана BB1 – к гипотенузе. Для таких медиан справедливо равенство:

Так как , то

Ответ: 500.

 


Другие задания:

Для наших пользователей доступны следующие материалы: