Задание 14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра АВ = 35, AD = 12, СС1 = 21.
а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
Решение.
а) Основание ABCD является
прямоугольником, следовательно, треугольник ABD – прямоугольный с
катетами AB и AD, AH – его высота, то
есть 
. Так
как 
, то
отрезок 
по теореме о
трех перпендикулярах, и, следовательно, для треугольника 
отрезок 
является высотой. На этом
основании можно заключить, что высоты 
и имеют общее основание BD.
б)
Угол
между плоскостями ABC и 
соответствует двугранному углу 
(см. рисунок). Так как
треугольник 
прямоугольный,
то тангенс угла равен
.
Длину отрезка AH можно найти из формулы площади треугольника DAB:
,
откуда
.
Отрезок BD найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ADB:
и
.
Таким
образом, тангенс угла , равен:
,
откуда
.
Ответ: 
.
Другие задания:
