Задание 16. Окружности с центрами О1 и O2 разных радиусов пересекаются в точках А и В. Хорда АС большей окружности пересекает меньшую окружность в точке М и делится этой точкой пополам.
а) Докажите, что проекция отрезка O1O2 на прямую АС в четыре раза меньше АС.
б) Найдите O1O2, если известно, что радиусы окружностей равны 5 и 17, а АС = 16.
Решение.
а) Рассмотрим
равнобедренный треугольник 
с равными сторонами 
(так как они являются радиусами
окружности). Тогда высота, опущенная из точки 
на основание AM, будет в точке K делить это
основание пополам. Из рисунка видно, что отрезок KM является
проекцией 
на AC и, учитывая,
что AM=MC по условию
задачи, то 
.
б) Найдем сначала
длину отрезка 
из
прямоугольного треугольника 
, в котором известна гипотенуза 
и катет 
:
.
По
аналогии найдем длину отрезка 
из прямоугольного треугольника 
с гипотенузой 
и катетом 
:
.
Теперь
представим, что координата точки 
, тогда координата точки 
, 
, и длину отрезка можно найти как евклидовое расстояние
между точками:
Ответ: 
.
Другие задания: