Задание 14. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра АВ = 12√3, SC = 13.
а) Докажите, что прямая, проходящая через середины рёбер AS и ВС, пересекает высоту пирамиды.
б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS и ВС.
Решение.
а)
Так
как SO – высота пирамиды,
то 
, где AP – медиана (см.
рисунок). Прямые KP и SO лежат в одной
плоскости ASP, следовательно,
они могут быть либо параллельными, либо пересекающимися прямыми. Параллельными
они быть не могут, так как в этом случае они обе должны были бы быть
ортогональны прямой AP, но KP – медиана к AS, и значит, KP пересекает SO.
б) Нужно найти
угол 
между
плоскостью ABC и прямой KP (см. рисунок).
Рассмотрим прямоугольный треугольник KMP, из которого следует, что
тангенс угла равен
.
Найдем
длины отрезков KM и MP. Найдем сначала длину AP из прямоугольного
треугольника ABP, в котором угол
, так как
треугольник ABC – равносторонний.
Тогда можно записать
,
откуда
.
Вершина пирамиды S проецируется в точку O, которая находится на пересечении медиан треугольника и делит их в отношении 2:1, то есть можно записать, что AO:OP=2:1 и так как AP=18, имеем:
Так как точка K – середина отрезка AS, то ее проекция на отрезок AO также делит этот отрезок пополам, и KM является средней линией треугольника ASO, то есть
.
Длину отрезка SO найдем из прямоугольного треугольника AOS по теореме Пифагора:
и
,
а MP=AO=12, так как точка M лежит по центру AO и точки M и O делят отрезок AP на 3 равные части. Таким образом,
Ответ: 
.
Другие задания: