Задание 14. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 10. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = АЕ = LM = 4.
а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.
Решение.
а) В правильной треугольной пирамиде высота M проецируется в точку O пересечения медиан правильного (равностороннего) треугольника. Медианы делят друг друга в соотношении 1:2, то есть .
По условию задания , длина отрезков , следовательно, точки D и E делят стороны AB и AC в соотношении . Это означает, что точка пересечения также делит медиану AP в соотношении . Но это означает, что точка O является проекцией вершины пирамиды M на основание, т.е. DE содержит центр основания пирамиды.
б) Сечением пирамиды является треугольник ELD. Для нахождения его площади найдем длину основания ED и высоту LO. Основание ED находится в соотношении 1:2 с отрезком BC, т.е.
.
Найдем высоту пирамиды MO из прямоугольного треугольника AOM, с катетом (так как AO – радиус описанной окружности, который соотносится со стороной правильного треугольника как ):
.
Сторона , а сторона (так как AL = 6/10*AM, и соответственно AN=6/10*AO). Таким образом, высота сечения LO равна
и площадь сечения
.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: