Задание 18. Найти все значения параметра a, при каждом из которых для любой пары (u; v) действительных чисел u и v выполнено неравенство
.
Решение.
Сделаем
замену x = sin(u). Очевидно, 
. Получаем неравенство:
.
При фиксированных v и а рассмотрим левую часть как функцию от х:
.
В
зависимости от того, как располагается x
относительно точек 
и 
, модули будут
раскрываться по-разному. При этом на каждом участке непрерывная функция f(x)
будет
линейной с угловым коэффициентом k = 13±7±3.
Какова бы ни была комбинация знаков, k >
0. Следовательно, функция f(x)
монотонно
возрастает.
Поэтому
неравенство 
выполняется при всех x от -1
до 1, если и только если 
:
При
малых v
(меньше,
чем наименьшее из чисел 
и 
) функция 
— возрастающая линейная с угловым
коэффициентом k1 = 1.
При больших v
(больше,
чем максимум из тех же чисел) — убывающая линейная функция с угловым
коэффициентом k2 = -1 (см.
рисунок). Поэтому функция g(v) принимает
наибольшее значение в одной из точек или . Неравенство 
выполняется при всех v тогда
и только тогда, когда 
и 
. Получаем:
Второе неравенство верно при всех a, а из первого находим:
,
откуда
.
Ответ: [0,2; 0,6].
Другие задания: