Задание 16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке а окружность — в точке F, причём Н — середина АЕ.
а) Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что АВ = 5 и АН = 4.
Решение.
а) Точка В лежит на
окружности с диаметром CD, поэтому 
, а т.к. 
, то ВС || AF. Трапеция ABCF вписана в
окружность, значит, она равнобедренная, CF = АВ. Высота ВН.
треугольника ABE является его
медианой, значит, треугольник ABE равнобедренный,
поэтому BE = АВ = CF, а т.к. 
, то CF || BE. Противоположные
стороны BE и CF четырёхугольника
BCFE равны и
параллельны, значит, это параллелограмм.
б)
Треугольник ADE равнобедренный,
т.к. его высота DH является медианой, значит, 
, а т.к. вписанные
углы DCF и DAF опираются на
одну и ту же дугу, то
.
Следовательно, треугольник CEF равнобедренный, EF = CF = АВ = 5.
Из прямоугольного треугольника АВН находим, что ВН = 3, значит, высота параллелограмма BCFE (даже ромба), опущенная из вершины Е на сторону ВС, равна 3.
По
теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд 
, откуда
Следовательно,
Ответ: 67,5.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: