Задание 16. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 34 и 49 соответственно.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности.
Решение.
а) Пусть О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC со сторонами АВ = АС = 49, ВС = 34, АН — высота треугольника, точки М и N — середины сторон АВ и АС соответственно, K — точка пересечения АН и MN, p — полупериметр треугольника ABC. Поскольку MN — средняя линия равнобедренного треугольника, точка K — общая середина MN и АН.
Из прямоугольного треугольника АВН находим, что
,
значит,
.
Пусть r — радиус вписанной окружности треугольника ABC. Тогда
,
а
диаметр вписанной окружности равен 
. Очевидно, 
, значит 
.
Следовательно, вписанная окружность пересекает среднюю линию MN треугольника.
б) Пусть вписанная окружность касается сторон АВ и АС в точках D и Е соответственно, а средняя линия MN пересекает эту окружность в точках Р и Q (Р между М и Q). Тогда
По
теореме о касательной и секущей 
, а так как
то
. Отсюда
находим, что PQ = 8.
Ответ: 8.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: