Задание 19. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.
Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Решение.
Введем
обозначения: 
-
время работы 1-го завода; 
- время работы второго завода. На первом
заводе в неделю рабочие работают 
часов в неделю и за каждый час получают
500 рублей. На втором заводе рабочие работают 
часов в неделю и также за каждый час
получают по 500 рублей. Получаем уравнение
или в виде
.
Из
условия задачи известно, что на первом заводе каждый час производится 
товара, а на втором - 
. Необходимо, чтобы в
сумме они давали максимальный объем произведенного товара, т.е.
.
Учитывая, что
получаем функцию
,
у которой нужно найти наибольшее значение.
ОДЗ
функции 
соответствует
неравенству
.
Но так как величина времени работы не может быть меньше 0, то окончательно имеем
.
Для нахождения экстремумов функции, нужно найти ее производную и приравнять результат нулю, получим:
приравниваем результат нулю:
Получили значение времени работы на втором заводе равное 80. Тогда на первом заводе время составит
Подставим
полученные результаты в выражение 
, получим максимальный объем производства
деталей:
единиц.
Ответ: 500.
Для наших пользователей доступны следующие материалы: