Задание
16.
Диагональ АС прямоугольника ABCD с центром О
образует со стороной АВ угол 30°.
Точка Е лежит вне прямоугольника,
причём 
.
а) Докажите,
что 
.
б) Прямая ОЕ пересекает сторону AD прямоугольника в точке K, Найдите ЕК, если известно, что BE = 40 и СЕ = 24.
Решение.
а) По теореме о
внешнем угле треугольника 
. Поэтому 
.
Значит,
точки В, Е, С и О лежат на одной окружности. Вписанные в
эту окружность углы СВЕ и СОЕ опираются на одну и ту же дугу,
следовательно, .
б) По теореме косинусов
Вписанные углы ВЕО и СЕО опираются на равные хорды ВО и СО, значит, ЕО — биссектриса угла ВЕС. Пусть М — точка её пересечения со стороной ВС. По формуле для биссектрисы треугольника
.
По свойству биссектрисы треугольника
,
значит,
По
теореме о произведении пересекающихся хорд 
, откуда
находим, что 
.
Треугольники COM
и AOK равны по стороне и
двум прилежащим к ней углам, поэтому OK = OM.
Следовательно, 
.
Ответ: 113.
Другие задания: