Задание 14. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки М и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость a содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость a делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точки С.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью a.
Решение.
а) Сечение (плоскость ) проходит через точки M и N, причем - средняя линия. Это означает, что отрезок . По условию секущая плоскость перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, она пересекает плоскость ABC по уровню PQ, причем . Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию PMNQ.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE, где SO – высота правильной пирамиды. Точка O лежит на пересечении медиан правильного треугольника (в основании пирамиды) и делит их в отношении 2:1, то есть
.
Точка K является серединой отрезка MN, причем , откуда следует, что . Так как , то . Таким образом, получаем, что .
б) Найдем периметр трапеции MNPQ:
,
где ; .
Для вычисления сторон , найдем высоту (величина SO=2 находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SOC, учитывая, что OC – радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника и равен ). Длину отрезка NQ найдем из прямоугольного треугольника NHQ (см. рисунок ниже).
Катет NH=KZ=1, а катет HQ равен
и
.
Получаем значение периметра
.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: